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二倍角公式 是数学 三角函数 中常用的一组公式，通过角α的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角2α的三角函数值，二倍角公式包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及正切二倍角公式。 在计算中可以用来 化简 计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用 [1-2]。
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- 复变函数
- 欧拉公式证明
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数学、物理名词
欧拉公式在不同的学科中有着不同的含义。
复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。
拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于1640年由笛卡尔首先给出证明，后来欧拉于 1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为笛卡尔定理。
把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，
，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”。
拓扑学又称“连续几何学”。
几何学的一门分科。研究几何图形经过连续形变后仍能保持的性质。包括点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑等分支。
二维拓扑多面体的欧拉示性数可以用以下公式计算：
其中V、E和F分别是点、边和面的个数。 特别的有，对于所有和一个球面同胚的多面体，我们有
用数学归纳法证明
( 1)当 R= 2时 ，由说明 1,这两个区域可想象为 以赤道为边界的两个半球面 ，赤道上有两个“顶点” 将赤道分成两条“边界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,欧拉定理成立.。
( 2)设 R= m(m≥ 2)时欧拉定理成立 ，下面证明 R= m+ 1时欧拉定理也成立 。
由说明 2，我们在 R= m+ 1的地图上任选一个 区域 X ,则 X 必有与它如此相邻的区域 Y ，使得在 去掉 X 和 Y 之间的唯一一条边界后 ，地图上只有 m 个区域了；在去掉 X 和 Y 之间的边界后 ，若原该边界两端 的顶点现在都还是 3条或 3条以上边界的顶点 ，则 该顶点保留 ，同时其他的边界数不变;若原该边界一 端或两端的顶点现在成为 2条边界的顶点 ，则去掉 该顶点 ,该顶点两边的两条边界便成为一条边界 。于 是 ,在去掉 X 和 Y之间的唯一一条边界时只有三种 情况：
①减少一个区域和一条边界；
②减少一个区 域、一个顶点和两条边界；
当r=0或1时式子的值为0，当r=2时值为1，当r=3时值为a+b+c。
设△ABC的外心为O，内心为I，外接圆半径为R，内切圆半径为r，又记外心、内心的距离OI为d，则有
（1）式称为欧拉公式。
为了证明（1）式，我们现将它改成
（2）式左边是点I对于⊙O的幂：过圆内任一点P的弦被P分成两个部分，这两个部分的乘积是一个定值，称为P关于⊙O的幂。事实上，如果将OI延长交圆于E、F，那么
因此，设AI交⊙O于M，则
因此，只需证明
众所周知，生活中处处存在着摩擦力，欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系。现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里：
其中，f表示我们施加的力，F表示与其对抗的力，e为自然对数的底，k表示绳与桩之间的摩擦系数，a表示缠绕转角，即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。
设G为n阶m条边r个面的连通平面图，则n-m+r= 2，此公式称为欧拉公式。可以通过归纳法证明，且证明方法和拓扑学中的类似，此处略去。尽管和拓扑中的欧拉公式十分相似，但图论在现代一般划分在离散数学的研究范畴内，因此在这里单独列出。
上面这些诱导公式可以概括为：对于kπ/2±α (k∈Z)的三角函数值，. ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；. ②当k是 奇数 时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan。. （奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的 ...
反双曲函数是双曲函数的反函数。记为（arsinh、arcosh、artanh等等）。与反三角函数不同之处是它的前缀是ar意即area(面积)，而不是arc(弧)。因为双曲角是以双曲线、通过原点直线以及其对x轴的映射三者之间所夹面积定义的，而圆角是以弧长与半径的比值定义。
与三角函数一样，双曲函数也分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种，双曲正弦函数和双曲余弦函数是双曲函数中最基本的两种，由这两个函数可推导出双曲正切函数等等。双曲正弦函数的定义式为：sinhx=[e^x-e^(-x)]/2
1 定义. 2 运算. 3 性质. 有界性. 奇偶性. 周期性. 单调性. 凹凸性. 定义. 播报. 编辑. 双曲正切函数（tanh）是 双曲正弦函数 （sinh）与 双曲余弦函数 （cosh）的比值，其解析形式为 [1]： 考虑不等关系：可知，双曲正切函数的定义域为 实数域 。 双曲正切函数. 运算.
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限 [2] ．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。. 形如2k×90°±α，则函数名称不变。. 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：. k×π/2±a (k∈z)的三角函数 ...
