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約瑟夫·萊歐維爾（法語： Joseph Liouville，法語： [ʒozɛf ljuvil]，1809年3月24日—1882年9月8日）是19世紀的法國 數學家，生於加來海峽省的聖奧梅爾。 萊歐維爾一生從事 數學 、 力學 和 天文學 的研究，涉足廣泛，成果豐富，尤其對 雙週期 橢圓函數 、 微分方程 邊 ...
約瑟夫·萊歐維爾（法語：Joseph Liouville，法語：[ʒozɛf ljuvil]，1809年3月24日－1882年9月8日）是19世紀的法國數學家，生於加來海峽省的聖奧梅爾。 萊歐維爾一生從事數學、力學和天文學的研究，涉足廣泛，成果豐富，尤...
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約瑟夫·萊歐維爾 （法語： Joseph Liouville ， 法語： [ʒozɛf ljuvil] ，1809年3月24日—1882年9月8日）是19世紀的 法國 數學家 ，生於 加來海峽省 的 聖奧梅爾 。 萊歐維爾一生從事 數學 、 力學 和 天文學 的研究，涉足廣泛，成果豐富，尤其對 雙週期 橢圓函數 、 微分方程式 邊值問題、 數論 中 代數數 的 丟番圖逼近 問題和 超越數 有深入研究。 萊歐維爾構造了所謂的「 萊歐維爾數 」並證明了其超越性，是第一個證實超越數的存在的人。 Quick Facts 約瑟夫·萊歐維爾, 出生 ... Close. Oops something went wrong: 約瑟夫·劉維爾 是19世紀的法國數學家，生於加來海峽省的聖奧梅爾。
在數學及其應用中，以 雅克·夏爾·法蘭斯瓦·史特姆 （1803–1855）和 約瑟夫·萊歐維爾 （1809–1882）的名字命名的 史特姆-萊歐維爾方程 是指二階線性實微分方程：. ( 1) 其中給定係數函數 p(x), q(x), 和 w(x) 均為已知函數，和 y 是以 x 為自由變量的未知的待求解 ...
- 在經典問題上的應用
- 歷史
- 置換群描述
- 現代的體論描述
- 可解群和根式解
- 逆伽羅瓦問題
- 不可分擴張
- 另見
- 參考文獻
- 外部連結
伽羅瓦理論的誕生最初是由於如下的現在稱之為阿貝爾-魯菲尼定理的問題，19世紀初之前一直是主要的未解決數學問題之一： 阿貝爾-魯菲尼定理提供了一個反例，證明對一部分多項式方程式不存在這樣的公式。伽羅瓦理論為這問題提供了更完整的解答，而且詳細的解釋了為什麼四次及更低次方程式有代數解，以及它們的代數解為什麼是那樣的形式。此外，它還提供了一種確定特定方程式可不可解的方法，這種方法概念清晰，易於用算法表示。 伽羅瓦理論還對尺規作圖問題提出了清晰的洞察，給出了所有可以尺規作圖的長度比的一個優雅描述。這樣，一些經典幾何問題的解答變得相對容易：
伽羅瓦之前
伽羅瓦理論源於對稱函數研究，即首一多項式的係數（在符號意義上）是根的初等對稱多項式。例如，( x − a ) ( x − b ) = x 2 − ( a + b ) x + a b {\displaystyle (x-a)(x-b)=x^{2}-(a+b)x+ab} ，其中1、a + b {\displaystyle a+b} 、a b {\displaystyle ab} 是0、1、2次二元初等多項式。 16世紀法國數學家弗朗索瓦·韋達在韋達定理中首次正式表述了正實數根的情形。18世紀英國數學家查爾斯·赫頓認為，用多項式係數表示方程式的根（不只是正根）的方法始見於17世紀法國數學家Albert Girard，赫頓這樣寫道： 因此，判別式是根的對稱函數，反映了根的性質：若且唯若多項式有重根時，判別式為零；對於2、3次多項式，若且唯若所有根都是互不相等的實數時，判別式為正；若且唯若有一對不同的複共軛根時，判別式為負。 15–16世紀義大利數學家希皮奧內·德爾·費羅首次發現了部分一元三次方程式的解法，但沒有公布自己的成果。1535年，尼科洛·塔爾塔利亞獨立發現了這套解法，並與吉羅拉莫...
伽羅瓦
1830年，18歲的伽羅瓦向巴黎科學院提交了一份備忘錄，介紹了他的根式可解性理論。次年，他的文章因過於簡略和給出的是方程式根（而非係數）的條件而被否決。隨後，伽羅瓦在1832年的一場決鬥中喪生，他的論文《根式方程式可解條件備忘錄》（Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux）到1846年才由約瑟夫·萊歐維爾發表，並附有他自己的一些解釋。萊歐維爾在1843年7月4日的一次演講中向學院宣布了伽羅瓦的結果。Allan Clark認為，伽羅瓦的描述「極大地取代了阿貝爾和魯菲尼的工作」。
後續
眾所周知，伽羅瓦理論很難為同時代的人理解。例如，萊歐維爾在1846年的評論中完全忽略了群論這一方法核心。約瑟夫·阿爾弗雷德·塞雷曾參加過幾次萊歐維爾的演講，將伽羅瓦理論寫入了1866年的教科書《高等代數》（Cours d'algèbre supérieure，第3版）。他的學生卡米爾·若爾當在《關於替代和代數方程式》（Traité des substitutions et des équations algébriques，1870）中對伽羅瓦理論有了更深刻的理解。法國之外，伽羅瓦理論在更長的時期中仍然比較模糊。英國數學家阿瑟·凱萊沒能領會伽羅瓦理論的深刻內涵，英國流行的代數教科書到20世紀初才提到伽羅瓦理論。德國數學家利奧波德·克羅內克的著作更關注阿貝爾的結果；理察·戴德金對伽羅瓦理論著述甚少，但在1858年於哥廷根大學發表了關於伽羅瓦理論的演講，顯示了他的深刻理解。1880年代，歐根·內托根據若爾當的《關於替代和代數方程式》編寫的書，以及海因里希·馬丁·韋伯1895年出版的代數教科書，讓更多德國和美國讀者了解了伽羅瓦理論。
給定一多項式，它的一些根可能是被不同的多項式方程式聯繫起來的。例如，有兩個根A和B，滿足方程式A 2 + 5 B 3 = 7 {\displaystyle A^{2}+5B^{3}=7} 。伽羅瓦理論的核心思想是考慮具有以下性質的根的置換：根滿足的任何多項式方程式，在置換之後仍成立。此理論最初是針對有理係數代數方程式提出的，其實可以自然擴張到係數位於任意體的方程式，但簡單起見，我們限制在有理數體。 這些置換形成了一個置換群，也稱為多項式的伽羅瓦群，可以很清晰的舉例說明。
現代的研究方法是從體擴張L/K開始，並分析固定K的L的自同構群。進一步的解釋和例子請參見關於伽羅瓦群條目。 這兩種描述的關係如下。多項式係數屬於基體K；擴張體L應是在體K中添加多項式的根得到的體。滿足保上述多項式方程式的根的置換，都對應L/K的一個自同構，反之亦然。 在上面的第一個例子中，我們研究的是體擴張Q ( 3 ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})/\mathbb {Q} } ，其中Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 是有理數體，而Q ( 3 ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})/\mathbb {Q} } 是在Q {\displaystyle \m...
群論中可解群的概念讓我們得以確定多項式何時有根式解，這取決於其伽羅瓦群是否有可解性。每個體擴張L / K {\displaystyle L/K} 實質上都對應伽羅瓦群合成列中的某因子群。若合成列的某因子群是n階循環群，且若相應體擴張L / K {\displaystyle L/K} 中，體K已經包含了原始n次單位根，則其就是一個根式擴張體，L的元素就可以用K中某元素的n次根表示。若合成列中所有因子群都是循環群，則稱此伽羅瓦群可解，相應體中所有元素都可從基體（通常是Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ）通過取根、積、求和得到。 有根式解的充要條件是其分裂體L對基體F的伽羅瓦群可解。簡言之，取此伽羅瓦群的任一合成列，透過伽羅瓦理論基本定理，合成列對應到一族子體L = L...
逆伽羅瓦問題是尋找具有給定伽羅瓦群的體擴張的問題。 不指定基體的話問題並不難，而且所有有限群都能作為伽羅瓦群出現。證明這一點可以這樣做：選定體K和有限群G。凱萊定理指出，G（在同構意義上）是對稱群S在G的元素上的子群。選擇不定項{ x α } {\displaystyle \{x_{\alpha }\}} ，G的每個元素α {\displaystyle \alpha } 對應一個不定項，與K相配得到體F = K ( { x α } ) {\displaystyle F=K(\{x_{\alpha }\})} 。F中包含了{ x α } {\displaystyle \{x_{\alpha }\}} 中的對稱有理函數體L。根據埃米爾·阿廷的基本結果，F / L {\displaystyle F...
在上述形式中，特別是伽羅瓦理論基本定理中，只考慮伽羅瓦擴張，是可分擴張。一般的體擴張可以分為可分擴張與純不可分擴張，對後者如F / K {\displaystyle F/K} ，有一種伽羅瓦理論，其中伽羅瓦群被導子的向量空間D e r K ( F , F ) {\displaystyle Der_{K}(F,F)} 取代，即滿足萊布尼茨法則的F的K-線性自同態。這種對應關係中，中介體F被賦予D e r E ( F , F ) ⊂ D e r K ( F , F ) {\displaystyle Der_{E}(F,F)\subset Der_{K}(F,F)} 。相反，滿足進一步適當條件的子空間V ⊂ D e r K ( F , F ) {\displaystyle V\subset Der...
Harold M. Edwards. Galois Theory. Springer-Verlag. 1984. ISBN 978-0-387-90980-6.Serge Lang, 'Algebraic Number Theory', Addison-Wesley (1970).Artin, Emil. Galois Theory. Dover. 1998 [1944]. ISBN 0-486-62342-4.Bewersdorff, Jörg. Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective. The Student Mathematical Library 35. American Mathematical Society. 2006. ISBN 0-8218-3817-2. S2CID 118256821. doi:10.1090/...以下是一些網上的教學資料： 1. ABSTRACT ALGEBRA ON LINE: Galois Theory（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） （英文） 2. nrich.maths.org Mathematics Enrichment: An Introduction to Galois Theory（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） （英文） 中英夾雜的教學資料： 1. 簡介Galois理論 /李華介（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 以下網站提供德語、中文、英語、法語、義大利語、西班牙語及羅馬尼亞語版的線上教材： 1. Evariste Galois: whatsnew（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） （英文） 以下網站提供伽羅瓦生平及其理論的應用： 1. 稱對的對稱——...
維基百科，自由的 encyclopedia. 在數學及其應用中，以 雅克·夏爾·法蘭斯瓦·史特姆 （1803–1855）和 約瑟夫·萊歐維爾 （1809–1882）的名字命名的 史特姆-萊歐維爾方程 是指二階線性實微分方程：. ( 1) 其中給定係數函數 p(x), q(x), 和 w(x) 均為已知函數，和 y 是以 x ...
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