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代数拓扑的主要目标就是用代数或者组合不变量的方式理解拓扑空间。 这下面举了两个例子. 第一个例子是说：对于每个拓扑空间X，我们都有一个点集\pi_0 (X)。 这个点集是X上所有点的一种等价类。 这个等价类的定义是，假设我们有一个经典的拓扑空间：R的局部： [0,1]。 以及拓扑空间X。 假设我们有个 [0,1]到X的连续映射p，令p (0)=x_1属于点集X，p (1)=x_2属于点集X。 那么我们就把他叫做：点x_1在“\pi_0 (X)的意义下”等价于点x_2。 最后，这些点的全部等价类构成了一个集合：\pi_0 (X)。 这就是一个不变量的例子。 第二个例子是基本群或者叫做在x点上的第一同伦群：\pi_1 (X,x)。 也是说：
2023年8月24日 · 我们取全部的从S^1到X连续的，并且把s能够映射到x的映射{f_i}。 这里{f_i}构成了一个集合，叫做环路空间ΩX。 当然，我们研究同伦问题，只有集合空间是远远不够的，同伦问题是一个拓扑问题，所以说我们要为集合ΩX赋予拓扑结构，使他成为一个拓扑空间ΩX。
6 天前 · 假设我们有个[0,1]到X的连续映射p，令p(0)=x_1属于点集X，p(1)=x_2属于点集X。 那么我们就把他叫做：点x_1在“\pi_0(X)的意义下”等价于点x_2。 最后，这些点的全部等价类构成了一个集合：\pi_0(X)。
