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從一開始到19世紀中葉，微分幾何是從外在觀點來進行研究的：曲線和曲面是被放在更高維度的 歐幾里得空間 中來考慮的（譬如曲面被放在三維的背景空間中）。 其中的最簡單的成果就是曲線微分幾何中的結果。 內在觀點開始於黎曼的工作，在那裡因為幾何對象被認為是獨立的給出的，所以不能說移到外面來考慮這個對象。 內在的觀點更加靈活，例如在相對論中時空不能很自然的用外在形式表示。 但用內在的觀點，曲率和聯絡這樣的結構比較難定義一些，所以採用內在的觀點也不是沒有代價的。 這兩種觀點也是可以融通的，即外在幾何可以被看作是附加於內在幾何上的結構。 （見 納什嵌入定理 ） 技術要求 [ 編輯]
微分幾何 研究 微分流形 的幾何性質，是現代 數學 中的一主流研究方向，也是 廣義相對論 的基礎，與 拓撲學 、 代數幾何 及 理論物理 關係密切。 古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。 歐拉 、 蒙日 和 高斯 被公认为古典微分几何的奠基人。 近代微分几何的创始人是 黎曼 ，他在1854年创立了 黎曼几何 （实际上黎曼提出的是 芬斯勒几何 ），这成为了近代微分几何的主要内容，并在 相对论 有极为重要的作用。 埃利·嘉当 和 陈省身 等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。 內在對外在 [ 编辑] 從一開始到19世紀中葉，微分幾何是從外在觀點來進行研究的：曲線和曲面是被放在更高維度的 歐幾里得空間 中來考慮的（譬如曲面被放在三維的背景空間中）。
函數的微分 （英語： Differential of a function ）是指對 函數 的局部變化的一種線性描述。 微分可以近似地描述當函數自變量的取值作足夠小的改變時，函數的值是怎樣改變的。 微分在數學中的定義：由 是 的函數 ( )。 從簡單的平面直角坐標系來看，自變量 的變化量趨近於0時 ( )，因變量 的變化量也趨近於0，但 和 的變化量都趨近於0。 當 有極小的變化量時，這稱為 的微分。 當某些函數 的自變量 有一個微小的改變 時，函數的變化可以分解為兩個部分。 一個部分是 線性 部分：在一維情況下，它 正比 於自變量的變化量 ，可以表示成 和一個與 無關，只與函數 及 有關的量的乘積；在更廣泛的情況下，它是一個 線性映射 作用在 上的值。
微分幾何 是一門利用 微積分 以及 線性 或 多重線性代數 等數學工具，來研究幾何問題的一門學問。 研究範圍從最基本的三維空間的曲線、曲面，一直到更高維度的微分流形。 微分幾何與 微分拓撲學 密切相關。 誰適合閱讀本書 [ 編輯] 本書適合給具備 微積分 與 線性代數 相關知識，並且對研究幾何理論有興趣，或對應用微分幾何的領域（如： 廣義相對論 、應用於 電磁學 的 微分形式 等）有興趣者。 目錄 [ 編輯] 曲線 [ 編輯] 參數曲線. 切向量與正則曲線. 弧長與弧長參數. 法向量與曲率. 副法向量與扭率. Frenet-Serret公式. 曲面 [ 編輯] 微分流形 [ 編輯] 參考資料 [ 編輯] do Carmo, Manfredo.
基本介紹. 中文名 ：微分幾何. 外文名 ：Differential geometry. 定義 ： 微積分 的理論研究空間的幾何性質. 分類 ：古典微分，現代微分. 研究對象 ： 微分 幾何學以 光滑曲線 (曲面) 分類 ：數學. 簡介. 微分 幾何是運用 微積分 的理論研究空間的幾何性質的數學分支學科。 古典微分幾何研究三維空間中的曲線和曲面，而現代微分幾何開始研究更一般的空間---- 流形 。 微分幾何與 拓撲學 等其他數學分支有緊密的聯繫，對物理學的發展也有重要影響。 愛因斯坦的 廣義相對論 就以微分幾何中的 黎曼幾何 作為其重要的數學基礎。 歷史. 起源. 微分幾何的產生和發展是和 微積分 密切相連的。 在這方面第一個做出貢獻的是瑞士數學家 歐拉 （L.Euler）。
維基百科，自由的 encyclopedia. 微分幾何 研究 微分流形 的幾何性質，是現代 數學 中的一主流研究方向，也是 廣義相對論 的基礎，與 拓撲學 、 代數幾何 及 理論物理 關係密切。 三角形沉浸在一个鞍形面（一个 双曲抛物面 ）上，以及两条发散的 超平行线 。 古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。 歐拉 、 蒙日 和 高斯 被公认为古典微分几何的奠基人。 近代微分几何的创始人是 黎曼 ，他在1854年创立了 黎曼几何 （实际上黎曼提出的是 芬斯勒几何 ），这成为了近代微分几何的主要内容，并在 相对论 有极为重要的作用。 埃利·嘉当 和 陈省身 等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。 內在對外在.
微分幾何 – 從幾何與微積分說起 (2023年11月3日) | Shaw College. 講者：李文俊教授. https://www.cuhk.edu.hk/itsc/edtech/vod/player/view.html?media=shaw/streaming/t… 講者：李文俊教授.
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