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The Remainder Theorem. When we divide f (x) by the simple polynomial x−c we get: f (x) = (x−c) q (x) + r (x) x−c is degree 1, so r (x) must have degree 0, so it is just some constant r: f (x) = (x−c) q (x) + r. Now see what happens when we have x equal to c: f (c) = (c−c) q (c) + r. f (c) = (0) q (c) + r. f (c) = r. So we get this:
The remainder theorem states that when a polynomial p (x) is divided by a linear polynomial (x - a), then the remainder is equal to p (a). The remainder theorem enables us to calculate the remainder of the division of any polynomial by a linear polynomial, without actually carrying out the steps of the long division.
Remainder Theorem is an approach of Euclidean division of polynomials. According to this theorem, if we divide a polynomial P (x) by a factor ( x – a); that isn’t essentially an element of the polynomial; you will find a smaller polynomial along with a remainder.
多項式餘式定理 （英語： Polynomial remainder theorem）是指一個 多項式 除以一線性多項式 的 餘式 是 。 定義. 我們可以一般化多項式餘式定理。 如果 的商式是 、餘式是 ，那麼 。 其中 的次數會小於 的次數。 例如， 的餘式是 。 又可以說是把除式的零點代入被除式所得的值是餘式。 至於除式為2次以上時，可將n次除式的 根 列出聯立方程： 其中 是被除式， 是餘式。 此方法只可用在除式不是任一多項式的 次方。 推导. 多項式餘式定理可由 多項式除法 的定義導出.根据 多項式除法 的定義，设被除式為 ，除式为 ，商式为 ，余式为 ，则有： 如果 是一次式 ，则 的次数小于一，因此， 只能为常数，这时，余式也叫余数，记为 ，即有： 根据上式，当 时，有：
多項式餘式定理 （英語： Polynomial remainder theorem）是指一個 多項式 除以一線性多項式 的 餘式 是 。 定義. [編輯] 我們可以一般化多項式餘式定理。 如果 的商式是 、餘式是 ，那麼 。 其中 的次數會小於 的次數。 例如， 的餘式是 。 又可以說是把除式的零點代入被除式所得的值是餘式。 至於除式為2次以上時，可將n次除式的 根 列出聯立方程： 其中 是被除式， 是餘式。 此方法只可用在除式不是任一多項式的 次方。 推導. [編輯] 多項式餘式定理可由 多項式除法 的定義導出.根據 多項式除法 的定義，設被除式為 ，除式為 ，商式為 ，餘式為 ，則有： 如果 是一次式 ，則 的次數小於一，因此， 只能為常數，這時，餘式也叫餘數，記為 ，即有：
图：长除法求解余数. 可以看到长除法很麻烦，计算量比较大、容易做错，那么下面介绍一个Remainder Theorem来快速解决：. 如果要算一个多项式 p (x) 除以 (x-c) 的余数，那么只需要把 x=c 带入到 p (x) 中，即 p (c) 就是所求余数。. 针对上述例题， p (3)=2\times3^3-7\times 3^2 ...
The polynomial remainder theorem follows from the theorem of Euclidean division, which, given two polynomials f(x) (the dividend) and g(x) (the divisor), asserts the existence (and the uniqueness) of a quotient Q(x) and a remainder R(x) such that.
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