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- 中國剩餘定理 （英文： Chinese Remainder Theorem），又叫 中國餘數定理 、 孫子定理，係 數論 上面一條基礎嘅定理。 喺古時嘅中國， 韓信點兵 就係運用孫子定理。 喺 南北朝 時期，已經有數學著作《孫子算經》問：「有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。
zh-yue.wikipedia.org/wiki/中國剩餘定理
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中國剩餘定理，又稱孫子定理或中國餘數定理，是數論中的一個關於一元線性同餘方程組的定理，說明了一元線性同餘方程組有解的準則以及求解方法。
中國剩餘定理，又稱孫子定理或中國餘數定理，是数论中的一個关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。
- 引入
- 证明
- 解释
- Garner 算法
- 应用
- 扩展：模数不互质的情况
- 习题
即求满足以下条件的整数：除以 余 ，除以 余 ，除以 余 。 该问题最早见于《孙子算经》中，并有该问题的具体解法。宋朝数学家秦九韶于 1247 年《数书九章》卷一、二《大衍类》对「物不知数」问题做出了完整系统的解答。上面具体问题的解答口诀由明朝数学家程大位在《算法统宗》中给出： ，故答案为 。
我们需要证明上面算法计算所得的 对于任意 满足 。 当 时，有 ，故 。又有 ，所以我们有： 即对于任意 ，上面算法得到的 总是满足 ，即证明了解同余方程组的算法的正确性。 因为我们没有对输入的 作特殊限制，所以任何一组输入 都对应一个解 。 另外，若 ，则总存在 使得 和 在模 下不同余。 故系数列表 与解 之间是一一映射关系，方程组总是有唯一解。
下面演示 CRT 如何解「物不知数」问题。 1. ； 2. 三人同行 七十 希：，故 ； 3. 五树梅花 廿一 支：，故 ； 4. 七子团圆正 半月：，故 ； 5. 所以方程组的唯一解为 。（除 百零五便得知）
CRT 的另一个用途是用一组比较小的质数表示一个大的整数。 例如，若 满足如下线性方程组，且 （其中 为质数）： 我们可以用以下形式的式子（称作 的混合基数表示）表示 ： Garner 算法 将用来计算系数 。 令 为 在模 意义下的 逆： 把 代入我们得到的第一个方程： 代入第二个方程得出： 方程两边减 ，除 后得 类似地，我们可以得到： 该算法的时间复杂度为 。实际上 Garner 算法并不要求模数为质数，只要求模数两两互质，我们有如下伪代码： 可以发现在第六行中的计算过程对应上述混合基数的表示。
某些计数问题或数论问题出于加长代码、增加难度、或者是一些其他原因，给出的模数：不是质数！ 但是对其质因数分解会发现它没有平方因子，也就是该模数是由一些不重复的质数相乘得到。 那么我们可以分别对这些模数进行计算，最后用 CRT 合并答案。 下面这道题就是一个不错的例子。 首先，当 时，所求显然为 。 否则，根据 欧拉定理，可知所求为： 现在考虑如何计算： 因为 不是质数，无法保证 ，都有逆元存在，上面这个式子我们无法直接计算。 注意到 ，其中每个质因子的最高次数均为一，我们可以考虑分别求出 在模 ，，，这几个质数下的结果，最后用中国剩余定理来合并答案。 也就是说，我们实际上要求下面一个线性方程组的解： 而计算一个组合数对较小的质数取模后的结果，可以利用 卢卡斯定理。
两个方程
设两个方程分别是 、； 将它们转化为不定方程：，其中 是整数，则有 。 由 裴蜀定理，当 不能被 整除时，无解； 其他情况下，可以通过 扩展欧几里得算法 解出来一组可行解 ； 则原来的两方程组成的模方程组的解为 ，其中 ，。
多个方程
用上面的方法两两合并即可。
「TJOI2009」猜数字 本页面部分内容译自博文 Китайская теорема об остатках 与其英文翻译版 Chinese Remainder Theorem。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。Chinese remainder theorem. Sunzi's original formulation: x ≡ 2 (mod 3) ≡ 3 (mod 5) ≡ 2 (mod 7) with the solution x = 23 + 105k, with k an integer. In mathematics, the Chinese remainder theorem states that if one knows the remainders of the Euclidean division of an integer n by several integers, then one can determine uniquely the ...
中國剩餘定理. 《 孫子算經》 「物不知數」問題, 又稱「孫子定理」 (《 孫子算經》 編纂年代估計約在公元四、 五世紀, 南北朝時期) 明代程大位《 算法統宗》: 「物不知總」、 「韓信點兵」 宋代楊輝《 續古摘奇算法》: 「秦王暗點兵」 宋代周密《 志雅堂雜鈔》 卷下: 「鬼谷算」、 「隔牆算」 剪管術. 南宋數學家秦九韶《 數書九章》 : 大衍求一術 (1247) 同餘(congruence) 問題,Indeterminate Analysis (i.e. solving the problem of linear congruences)。 Chinese Remainder Theorem (CRT) 《 孫子算經》 ( 原書卷下第26 題)
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