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概説. リッシュのアルゴリズムが不定積分を実行できる対象は初等関数すなわち、 四則演算 (+, −, ×, ÷)、 指数関数 、そしてこれらの 逆関数 の組み合わせで得られる関数である。 特に指数関数の逆関数として得られる 対数関数 や、複数回の 乗算 の逆関数として得られる有理数による 冪 も初等関数に含まれる。 複素数 の範囲で考えることで、 三角関数 も指数関数として扱うことができる。 ピエール＝シモン・ラプラス は、被積分関数が 有理関数 である場合の不定積分を行うアルゴリズムを得ていた。 すなわち有理関数の不定積分は、有理関数と、有理関数の対数関数の有限個の和で書けることを示した。
簡便な割に高精度な シンプソンの公式. ロンバーグ積分 ( 台形公式 と 数列の加速法 を組み合わせた公式) 積分点を適応的に取る ガウス求積 、 ガウス＝クロンロッド求積法 、 クレンショー・カーティス法 （ 英語版 ） などがある。 ニュートン・コーツの公式の場合、誤差項は中点則と台形公式は同じ2階導関数、シンプソンの公式とシンプソンの3/8公式は同じ4階導関数なので、同じ誤差のグループ同士は滑らかな関数の場合は大きな差はなく、基本的にはシンプソンの公式の方が誤差が小さいが、場合によってはそうならない場合もある。 二重指数関数型数値積分公式 、IMT積分 [2] などの変数変換を用いた公式を適用すれば、被積分関数の端点に特異性がある場合でも、積分値を計算することが可能な場合もある。
目次. 非表示. ページ先頭. ガウス・ルジャンドル公式による求積. 区間の変更. 他の形式. 基礎となる定理. 計算. 誤差の見積もり. ガウス＝クロンロッド求積法. 脚注. 外部リンク. ガウス求積 （ガウスきゅうせき、 英: Gaussian quadrature ）または ガウスの数値積分公式 とは、 カール・フリードリヒ・ガウス に因んで名づけられた 数値解析 における 数値積分 法の一種であり、 実数 のある閉区間 (慣例的に [−1, 1] に標準化される)で定義された実数値関数のその閉区間に渡る定積分値を、比較的少ない演算で精度良く求めることができる アルゴリズム である。 n を正の 整数 とし、 f(x) を 任意の 多項式関数 とする。
概要. ニュートン・コーツの公式の一覧. 重みの計算. 高次における不安定性. 合成積分公式. 関連項目. 参考文献. 外部リンク. ニュートン・コーツの公式 （ニュートン・コーツのこうしき、 英: Newton–Cotes formulae, Newton-Cotes rules ）とは、等間隔の点における被積分関数の値に基づく 数値積分法 の総称である。 名前は アイザック・ニュートン と ロジャー・コーツ に由来する。 ニュートン・コーツの公式は、等間隔の点での被積分関数の値が与えられた場合に有用である。 もし他の点での値も求められるならば、 ガウス求積 や クレンショー・カーチス求積 （ 英語版 ） などの他の方法の方が適している場合もある。 概要.
被積分函数として代数函数を引数とする指数函数と代数函数との積を許せば、周期の概念は指数周期 (exponential period) の概念に拡張される。 このように拡張を行えば、 e の任意の代数的数乗、有理数引数におけるガンマ函数の特殊値、 ベッセル函数 の特殊値なども全て指数周期の例に含まれる。
微分積分学 および、特に 多変数微分積分学 における 函数 の 平均 （へいきん、 英: mean, average value ）は、略式的に言えば函数の 定義域 に亙って取った値の 平均 として定義される。 一変数の場合、区間 [a, b] 上の函数 f(x) の平均は. で定義される。 これは 算術平均 を一般化するものである。 幾何平均 を一般化することも可能であり、より一般に 測度論 および 確率論 においていずれかの種類の平均が重要な役割を持つ。 この文脈では、 イェンゼンの不等式 が函数の算術平均と幾何平均の間の関係を厳に評価するものである。 同様に、函数の 調和平均 や自乗平均（あるいは自乗平均平方根）なども定義できる。 動機付け. 「 算術平均 」も参照.
1.ガブリエルのラッパ 対称の軸は横に貫いている。 回転体積分とは、 対称の軸を360 回したとき、ガブリエルのラッパのようなものができる。 問題例 回転体は、ガブリエルのラッパ回転体があり、対称の軸が横になっている。上の底面、半径が5000cm、下の底面(図で言うと右の小さい面)の半径 ...
