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In mathematics, the Chinese remainder theorem states that if one knows the remainders of the Euclidean division of an integer n by several integers, then one can determine uniquely the remainder of the division of n by the product of these integers, under the are
中國剩餘定理，又稱 孫子定理 或 中國餘數定理，是 數論 中的一個關於一元線性 同餘 方程組的定理，說明了一元線性同餘方程組有解的準則以及求解方法。 該定理在中國古代也被稱為「韓信 點兵」、「求一術」（宋 沈括）、「鬼谷算」（宋 周密）、「隔牆算」（宋 周密）、「剪管術」（宋 楊輝）、「秦王 暗點兵」、「物不知數」等。 物不知數. [編輯] 一元線性同餘方程組問題最早可見於中國 南北朝 時期（公元5世紀）的數學著作《孫子算經》卷下第二十六題，叫做「物不知數」問題，原文如下： 有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。 問物幾何？ 即，一個整數 除以三 餘二，除以五餘三，除以七餘二，求這個整數。
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- 引入
- 证明
- 解释
- Garner 算法
- 应用
- 扩展：模数不互质的情况
- 习题
即求满足以下条件的整数：除以 余 ，除以 余 ，除以 余 。 该问题最早见于《孙子算经》中，并有该问题的具体解法。宋朝数学家秦九韶于 1247 年《数书九章》卷一、二《大衍类》对「物不知数」问题做出了完整系统的解答。上面具体问题的解答口诀由明朝数学家程大位在《算法统宗》中给出： ，故答案为 。
我们需要证明上面算法计算所得的 对于任意 满足 。 当 时，有 ，故 。又有 ，所以我们有： 即对于任意 ，上面算法得到的 总是满足 ，即证明了解同余方程组的算法的正确性。 因为我们没有对输入的 作特殊限制，所以任何一组输入 都对应一个解 。 另外，若 ，则总存在 使得 和 在模 下不同余。 故系数列表 与解 之间是一一映射关系，方程组总是有唯一解。
下面演示 CRT 如何解「物不知数」问题。 1. ； 2. 三人同行 七十 希：，故 ； 3. 五树梅花 廿一 支：，故 ； 4. 七子团圆正 半月：，故 ； 5. 所以方程组的唯一解为 。（除 百零五便得知）
CRT 的另一个用途是用一组比较小的质数表示一个大的整数。 例如，若 满足如下线性方程组，且 （其中 为质数）： 我们可以用以下形式的式子（称作 的混合基数表示）表示 ： Garner 算法 将用来计算系数 。 令 为 在模 意义下的 逆： 把 代入我们得到的第一个方程： 代入第二个方程得出： 方程两边减 ，除 后得 类似地，我们可以得到： 该算法的时间复杂度为 。实际上 Garner 算法并不要求模数为质数，只要求模数两两互质，我们有如下伪代码： 可以发现在第六行中的计算过程对应上述混合基数的表示。
某些计数问题或数论问题出于加长代码、增加难度、或者是一些其他原因，给出的模数：不是质数！ 但是对其质因数分解会发现它没有平方因子，也就是该模数是由一些不重复的质数相乘得到。 那么我们可以分别对这些模数进行计算，最后用 CRT 合并答案。 下面这道题就是一个不错的例子。 首先，当 时，所求显然为 。 否则，根据 欧拉定理，可知所求为： 现在考虑如何计算： 因为 不是质数，无法保证 ，都有逆元存在，上面这个式子我们无法直接计算。 注意到 ，其中每个质因子的最高次数均为一，我们可以考虑分别求出 在模 ，，，这几个质数下的结果，最后用中国剩余定理来合并答案。 也就是说，我们实际上要求下面一个线性方程组的解： 而计算一个组合数对较小的质数取模后的结果，可以利用 卢卡斯定理。
两个方程
设两个方程分别是 、； 将它们转化为不定方程：，其中 是整数，则有 。 由 裴蜀定理，当 不能被 整除时，无解； 其他情况下，可以通过 扩展欧几里得算法 解出来一组可行解 ； 则原来的两方程组成的模方程组的解为 ，其中 ，。
多个方程
用上面的方法两两合并即可。
「TJOI2009」猜数字 本页面部分内容译自博文 Китайская теорема об остатках 与其英文翻译版 Chinese Remainder Theorem。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。中國剩餘定理，又稱 孫子定理 或 中國餘數定理，是 数论 中的一個关于一元线性 同余 方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。 该定理在中国古代也被称为「韓信 點兵」、「求一术」（宋 沈括）、「鬼谷算」（宋 周密）、「隔墻算」（宋 周密）、「剪管術」（宋 杨辉）、「秦王 暗點兵」、「物不知數」等。 物不知数. 一元线性同余方程组问题最早可见于中國 南北朝 时期（公元5世纪）的数学著作《孫子算經》卷下第二十六题，叫做“物不知數”问题，原文如下： 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。 问物几何？ 即，一個整數 除以三 余二，除以五余三，除以七余二，求這個整數。
The Chinese Remainder Theorem is a number theoretic result. Contents. 1 Theorem. 2 Proof. 3 Applicability. 4 Solving a system of congruences using CRT. 5 Extended version of the theorem. 6 See Also. 7 Discussion. Theorem. Formally stated, the Chinese Remainder Theorem is as follows: Let be relatively prime to .
2024年4月26日 · The Chinese remainder theorem is used to get a unique solution for an arbitrary finite number of congruences with coprime moduli, which states that:
For any system of equations like this, the Chinese Remainder Theorem tells us there is always a unique solution up to a certain modulus, and describes how to find the solution efficiently. Theorem: Let p, q be coprime. Then the system of equations. x = a (mod p) x = b (mod q) has a unique solution for x modulo p q.
