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- 有理式的導數仍為一有理數，但有理式的積分就不一定是有理式了。 例如， 或 皆非有理式。 底下我們討論一般有理式的積分。 基本的想法是這樣的：先把一有理式寫成部分分式之和，然後利用一般的積分技巧一項一項積出來。
stat.nuk.edu.tw/cbme/math/calculus/cal2/c5_7/bud.htm
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積分是什麼?
什麼是微積分基本定理?
如何將積分分割為兩個部分?
2024年9月7日 · 積分 （英語： Integral）是 微積分 學與 數學分析 裡的一個核心概念。 通常分為 定積分 和 不定積分 兩種。 直觀地說，對於一個給定的 正 實值 函數 ， 在一個實數 區間 上的定積分. 可以在 數值 上理解為在 坐標平面上，由 曲線 （ ），直線 ， 以及 軸圍成的 曲邊梯形 的 面積 值 [註 1]。 函數 的定積分是函數與x軸圍成的曲邊梯形的有向面積：在x軸上方（藍色）的面積為正，下方（黃色）的面積為負。 的 不定積分 （或原函數）是指任何滿足 導數 是函數 的 函數 。 一個函數 的不定積分不是唯一的：只要 是 的不定積分，那麼與之相差一個常數的函數 也是 的不定積分。 [註 2]
所謂有理式即二多項式之商。有理式的導數仍為一有理數，但有理式的積分就不一定是有理式了。例如， 或 皆非有理式。底下我們討論一般有理式的積分。基本的想法是這樣的：先把一有理式寫成部分分式之和，然後利用一般的積分技巧一
- 概觀
- 基本介紹
- 公式種類
- 公式匯總
- 積分性質
- 軟體運用
積分是微分的逆運算，即知道了函式的導函式，反求原函式。在套用上，積分作用不僅如此，它被大量套用於求和，通俗的說是求曲邊三角形的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質決定的。主要分為定積分、不定積分以及其他積分。積分的性質主要有線性性、保號性、極大值極小值、絕對連續性、絕對值積分等。
不定積分
設 是函式f（x）的一個原函式，我們把函式f（x）的所有原函式F（x）+C（C為任意常數）叫做函式f（x）的不定積分，記作，即∫f（x）dx=F（x）+C.其中∫叫做積分號，f（x）叫做被積函式，x叫做積分變數，f（x）dx叫做被積式，C叫做積分常數，求已知函式不定積分的過程叫做對這個函式進行積分。 註：∫f（x）dx+c1=∫f（x）dx+c2, 不能推出c1=c2
定積分
積分是微積分學與數學分析里的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說，對於一個給定的實函式f（x），在區間[a，b]上的定積分記為： 若f（x）在[a,b]上恆為正，可以將定積分理解為在Oxy坐標平面上，由曲線（x，f（x））、直線x=a、x=b以及x軸圍成的面積值（一種確定的實數值）。
其他
積分的種類還有如下幾類： •黎曼積分 •達布積分 •勒貝格積分 •黎曼－斯蒂爾傑斯積分 •數值積分
不定積分
不定積分的積分公式主要有如下幾類：含ax+b的積分、含√（a+bx）的積分、含有x^2±α^2的積分、含有ax^2+b（a>0）的積分、含有√（a2+x^2） （a>0）的積分、含有√（a^2-x^2） （a>0）的積分、含有√（|a|x^2+bx+c） （a≠0）的積分、含有三角函式的積分、含有反三角函式的積分、含有指數函式的積分、含有對數函式的積分、含有雙曲函式的積分。 含a+bx的積分 含有a+bx的積分公式主要有以下幾類： 含√（a+bx）的積分 含有√（a+bx）的積分公式主要包含有以下幾類： 含有x^2±α^2的積分 含有ax^2+b（a>0）的積分 含有√（a^2+x^2） （a>0）的積分 被積函式中含有√（a^2+x^2） （a>0）的積分有： 含有√（a^2-x^2） （a>0）的積分 被積函式中含有√（a^2-x^2） （a>0）的積分有： 對於a2>x2有： 含有√（|a|x^2+bx+c） （a≠0）的積分 被積函式中含有√（|a|x^2+bx+c） （a≠0）的積分有 含有三角函式的積分 被積函式中含有三角函式的積分公式有： 含有反三角函式的積分 被積函式當中含有反三角函式的積分公式有： 含有指數函式的積分 被積函式當中包含有指數函式的積分公式： 含有對數函式的積分 被積函式當中包含有對數函式的積分公式： 含有雙曲函式的積分 被積函式當中包含有雙曲函式的積分公式有：
線性性
積分是線性的。如果一個函式f 可積，那么它乘以一個常數後仍然可積。如果函式f和g可積，那么它們的和與差也可積。
保號性
如果一個函式f在某個區間上黎曼可積，並且在此區間上大於等於零。那么它在這個區間上的積分也大於等於零。如果f勒貝格可積並且幾乎總是大於等於零，那么它的勒貝格積分也大於等於零。作為推論，如果兩個 上的可積函式f和g相比，f（幾乎）總是小於等於g，那么f的（勒貝格）積分也小於等於g的（勒貝格）積分。 如果黎曼可積的非負函式f在 上的積分等於0，那么除了有限個點以外，f = 0。如果勒貝格可積的非負函式f在 上的積分等於0，那么f幾乎處處為0。如果 中元素A的測度μ （A）等於0，那么任何可積函式在A上的積分等於0。 函式的積分表示了函式在某個區域上的整體性質，改變函式某點的取值不會改變它的積分值。對於黎曼可積的函式，改變有限個點的取值，其積分不變。對於勒貝格可積的函式，某個測度為0的集合上的函式值改變，不會影響它的積分值。如果兩個函式幾乎處處相同，那么它們的積分相同。如果對 中任意元素A，可積函式f在A上的積分總等於（大於等於）可積函式g在A上的積分，那么f幾乎處處等於（大於等於）g。
用戶可以在Microsoft Word中創建積分公式，以Word2010軟體為例介紹操作方法：
第1步，打開Word2010文檔視窗，切換到“插入”功能區。在“符號”分組中單擊“公式”按鈕（非“公式”下拉三角按鈕）。
第2步，在Word2010文檔中創建一個空白公式框架，在“公式工具/設計”功能區中，單擊“結構”分組中的“積分”按鈕。在打開的積分結構列表中選擇合適的積分形式。
第3步，在空白公式框架中將插入積分結構，單擊積分結構占位符框並輸入具體數值或公式符號即可。
基本介紹. 中文名：積分. 外文名：integral. 基本原理： 微積分基本定理. 提出者： 艾薩克·牛頓. 特點：發展的動力來自於實際套用中的. 基本介紹. 積分發展的動力源自實際套用中的需求。 實際操作中，有時候可以用粗略的方式進行估算一些未知量，但隨著科技的發展，很多時候需要知道精確的數值。 要求簡單幾何形體的面積或體積，可以套用已知的公式。 比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長×寬×高求出。 但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規則的形狀，就需要用積分來求出容積。 物理學中，常常需要知道一個物理量（比如 位移）對另一個物理量（比如 力）的累積效果，這時也需要用到積分。 術語和標記. 如果一個函式的積分存在，並且有限，就說這個函式是 可積的。
有理分式積分法. 設 ，則把 稱為有理分式，下面我們討論這種分式的積分。 目次. 1唯一因式分解定理. 2分析. 3常用模型. 4其它方法. 5上下節. 唯一因式分解定理[] 唯一因式分解定理 聲稱：所有在 上形如 的分時總能分解成以下幾種簡單式子的和： 多項式當分子次數不小於分母次數時，可分解出多項式； 若 有一個 重實根 ，則分解後含有分式. 若 有一個 重共軛復根 ，則 含有因子 ，其中 （ ），則分解後含有分式. 分析[] 有了以上定理，我們就可以把複雜的分式化為簡單分式的積分之和來求解了。 ，為此，我們只需解決以下式子的積分： 多項式： ∑ ，很容易求出它的積分是. ∑. 一次簡單分式： − ，很容易求出它的積分是. − ，很容易求出它的積分是.
若有理數式 () 的分母 可分解為數個多項式的積，其部分分數便是 / ，其中 是 的因子， 是次數不大於Q(x)/h_n(x)的多項式。 例子 [ 編輯 ]
為積分符號, a 為積分下限(lower limit of integration), b 為積分上限(upper limit of integration), f(x) 為被積分式 (integrand), x 為積分變數 (variable of integration)。(3) 積分式中的x為啞變數(dummingvariable), 即定積分記為 Rb a f(x)dx, Rb a f(t)dt或 Rb a f(u)du 均相同。
