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- 定理 設 V 是在域 K 上的向量空間，並設 W 是 V 的子集。 則 若且唯若 它滿足下列三個條件時， W 是個 子空間 : 零向量 0 在 W 中。 如果 u 和 v 是 W 的元素，則向量和 u + v 是 W 的元素。 如果 u 是 W 的元素而 c 是來自 K 的純量，則純量積 cu 是 W 的元素。
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在線性代數和其他數學相關領域，一個線性子空間（或向量子空間）U是給定域 向量空間V的一個子集，並且它還是V的加法子群，同時，在純量乘下回到自身，那麼，V上運算在U上的限制導出U的向量空間結構，我們把U稱為V上的向量（或線性）子空間。
2012年2月15日 · 其實在向量空間的條件中定義反元素時，不僅是讓每一個向量都對應到一個反元素，也同時在每一個向量與零向量之間形成連結，在定義了反元素之後，零向量才有其用武之處，零向量與反元素其實是一體兩面啊！ 回過頭來看子空間的情形，可以發現上述的問題不會發生，因為子空間包含於向量空間之內，而在向量空間之中是可以使用消去律及其他定理的，因此 x + (-x) = 0x 不會陷入未定義的窘境。 Thm： 在同一個向量空間中，任意子空間的交集都會是一個子空間。 這個定理可以輕易獲得證明，若現在有兩個子空間 V 、W，兩子空間皆包含零向量，因此其交集也必包含零向量。 子空間具有封閉性，則在交集中的向量對於 V 、 W 皆有封閉性，也就是說交集中的向量對於該交集也具有封閉性。 問：那麼子空間的聯集呢？
Theorem of 子空間的充要條件. 已知 V V: vector space, W \subseteq V W ⊆ V, W \ne \emptyset W ≠ ∅, 則下列敘述等價: W W 為. V V 的子空間. \forall \vec {u} ∀ u ⃗ . , \vec {v} \in W. v ⃗ ∈ W, \vec {u} u ⃗ . +. \vec {v} \in W. v ⃗ ∈ W. \forall c \in F ∀c ∈ F, \forall \vec {v} \in W ∀ v ⃗ ∈ W, c\vec {v} \in W c v ⃗ ∈ W. \forall c ∀c,
2024年10月17日 · 在線性代數和其他數學相關領域，一個線性子空間（或向量子空間）U是給定域 向量空間V的一個子集，並且它還是V的加法子群，同時，在純量乘下回到自身，那麼，V上運算在U上的限制導出U的向量空間結構，我們把U稱為V上的向量（或線性）子空間。
子空間是可繼承的：若 是 的子空間， 是 的子空間，那麼 是 的子空間。 Hausdorff 性質 是可繼承的：假設 X {\displaystyle X} 是 Hausdorff 空間 ，那麼 S {\displaystyle S} 作為 X {\displaystyle X} 的子空間也是 Hausdorff 的。
2021年10月24日 · #定理. 令 S1⊆S2⊆VS_1 \subseteq S_2 \subseteq VS1 ⊆S2 ⊆V. 若S1S_1S1 為VVV的線性相依子集，則S2S_2S2 也是VVV的線性相依子集. 若S2S_2S2 為VVV的線性獨立子集，則S1S_1S1 也是VVV的線性獨立子集. #基底 basis. #定義. 設B={e1,e2,⋯,en}\mathfrak {B}=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}B={e1 ,e2 ,⋯,en }是在係數域F\mathbb{F}F上的向量空間V\mathrm {V}V的有限子集。 如果B\mathfrak {B}B滿足下列兩者條件： 最大線性獨立子集.
2021年10月3日 · # 定理 向量空間 V V V 的非空集合 S S S 生成的子空間是 S S S 中向量的所有有限線性組合；在 V V V 內，任何包含 S S S 的子空間必定包含 S p a n (S) Span(S) S p a n (S) # 範例們
