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19岁大二生一夜破解困扰数学家2000年难题，命题有多难？ 在世界数学史上，能获得“最伟大数学家”称号的，不外阿基米德、牛顿、高斯、欧拉几人。 其中，高斯更有“数学王子”、“数学家之王”的美称，人们还称赞高斯是“人类的骄傲”。 有人说，“天才、早熟、高产、创造力不衰……”人类智力领域的几乎所有褒奖之词，对于高斯都不过分。 高斯一生的成就极为丰硕，开辟了许多新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹。 以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。 从研究风格、方法乃至所取得的具体成就方面，他都是18~19世纪之交的中坚人物。 他对微分几何、大地测量学、地球物理学、天文学和矩阵理论等皆有贡献。
- 概览
- 内容范围
- 学术意义
- 核心课题
- 型的理论
- 复数作用
- 书籍评价
- 传播
- 数学界的认可
- 高斯的成就
高斯创作的数学专著
1801年，高斯的名著《算术研究》问世。《算术研究》是用拉丁文写成的。这部书是高斯大学毕业前夕开始撰写的，前后花了三年时间。1800年，高斯将手稿寄给法国科学院，请求出版，却遭到拒绝，于是高斯只好自筹资金发表。
在这本书的序言一开头，高斯明确地说明了本书的范围：“本书所研究的是数学中的整数部分，分数和无理数不包括在内。”
《算术研究》是一部划时代的作品，它结束了19世纪以前数论的无系统状态。在这部书中，高斯对前人在数论中的一切杰出而又零星的成果予以系统的整理，并积极加以推广，给出了标准化的记号，把研究的问题和解决这些问题的已知方法进行了分类，还引进了新的方法。
全书共有三个核心课题：同余理论、齐式论及剩余论和二次互反律。这些都是高斯贡献给数论的卓越成就。
同余理论
同余是《算术研究》中的一个基本研究课题。这个概念不是高斯首先提出的，但是给同余引入现代的符号并予以系统研究的却是高斯。他详细地讨论了同余数的运算、多项式同余式的基本定理以及幂的同余等各种问题。他还运用幂的同余理论证明了费马小定理。
二次互反律
二次互反律是高斯最得意的成果之一，它在数论中占有极为重要的地位。正如美国现代数学家狄克逊（1874—1954年）所说：“它是数论中最重要的工具，并且在数论发展史上占有中心位置。”其实，高斯早在1796年就已经得出了这个定理及其证明。发表在《算术研究》中的则是另一种证明。
二次互反律发展
在《算术研究》中，高斯出乎寻常的以最大的篇幅讨论了型的理论。他从拉格朗日的著作中抽象出了型的等价概念后，便一鼓作气地提出了一系列关于型的等价定理和型的复合理论，他的工作有效地向人们展现了型的重要性——用于证明任何多个关于整数数的定理。正是由于高斯的带领，使型的理论成为19世纪数论的一个主要课题。高斯关于型和型类的几何表式的论述是如今所谓数的几何学的开端。
高斯对数论问题的处理，有许多涉及到复数。
首先是对复数的承认
这是个老问题。18、19世纪不少杰出的数学家都曾被“复数究竟是什么？”搞不清楚。莱布尼兹、欧拉等数学大师对此一筹莫展。高斯在代数基本定理的证明中无条件地使用了复数。这使得原先仅从运算通行性这点考虑对复数的承认，扩大到在重大的代数问题的证明中来确认复数的地位。高斯以其对该定理的高超证明，使数学界不仅对高斯而且对复数刮目相待。
复数带进了数论
《算术研究》似乎任何一个学过中学普通代数的人都可以理解，但是，它完全不是给初学者看的。在当时，读懂这本书的人较少。困难不是详细的计算示例而是对主题的理解和对深奥思路的认识。由于全书有7个部分，人们风趣地称它是部“加七道封漆的著作”。
《算术研究》出版后，很多青年数学家纷纷购买此书并加以研究，狄利克雷（1805—1859）就是其中之一。狄利克雷是德国著名数学家，对分析、数论等有多方面的贡献。他把《算术研究》视为心爱的宝贝，把书藏在罩袍里贴胸的地方，走到哪儿带到哪儿，一有空就拿出来阅读。晚上睡觉的时候，把它垫在枕头下面，在睡前还读上几段。功夫不负有心人，凭着这股坚韧不拔的毅力，狄利克雷终于第一个打开了“七道封漆”。后来他以通俗的形式对《算术研究》作了详细的介绍和解释，使这部艰深的作品逐渐为较多的人所理解和掌握。
关于《算术研究》和狄利克雷之间还有一段感人的故事。1849年7月16日，正好是高斯获得博士学位50周年。哥廷根大学举行庆祝活动，其中有一个别出心裁的节目，他们要高斯用《算术研究》中一页原稿来点燃自己的烟斗。狄利克雷正好站在高斯身旁，他看到这个情景完全惊呆了。在最后一刹那，他不顾一切地从自己恩师的手中抢下了这页原稿，并把它珍藏起来。这页手稿直到狄利克雷逝世以后，编辑人员在整理他的遗稿中才重新发现了它。
《算术研究》发表后，拉格朗日曾经悲观地以为“矿源已经挖尽”、数学正濒临绝境，当他看完《算术研究》后兴奋地看到了希望的曙光。这位68岁高龄的老人致信高斯表示由衷的祝贺：
“您的《算术研究》已立刻使您成为第一流的数学家。我认为，最后一章包含了最优美的分析的发现。为寻找这一发现，人们作了长时间的探索。……相信我，没有人比我更真诚地为您的成就欢呼。”
关于这部著作，19世纪德国著名数学史家莫里茨·康托曾发表过高见，他说：
“高斯曾说：‘数学是科学的女皇，数论则是数学的女皇。’如果这是真理，我们还可以补充一点：《算术研究》是数论的宪章。”
《算术研究》是高斯一生中的巨著。暮年高斯在谈到这部书时说：“《算术研究》是历史的财富。”
高斯原本计划继续撰写《算术研究》第2卷，但由于工作的变化和研究兴趣的转移，这一计划未能实现。
高斯的许多数学成就都是在他去世后才被人们发现的。从1796年3月30日高斯用尺规作出正17边形后，他开始记科学日记，并且长期坚持下来，到1814年7月9日。高斯的科学日记是1898年哥廷根皇家学会为了研究高斯，向高斯的孙子借来的。从此，这本科学日记的内容才在高斯逝世43年后流传。这本日记共146项研究成果，由于仅供个人使用，所以每一条记录往往只写三言两语，十分简短。有的条目简单得甚至专家也摸不着头脑。
1796年10月11日， Vicimus GEGAN
1799年4月8日，REV. GALEN
这两项研究成果，至今仍是个谜。
在1796年7月10日中有这样一条日记：
编辑. 阿基米德 (Archimedes , 公元前287年-公元前212年) 古希腊 伟大的 哲学家 、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家， 静力学 和 流体静力学 的奠基人。. 阿基米德(2张) 阿基米德确立了静力学和流体静力学的基本原理。. 给出许多求 几何图形 重心，包括由一 ...
1855年2月23日. 毕业院校. Carolinum学院（现布伦瑞克工业大学） 职 业. 数学家，天文学家. 主要成就. 发现正十七边形的尺规作图法. 导出 二项式定理 的一般形式. 画出世界上第一张地球磁场图. 定出地球磁南极和磁北极的位置. 发明 磁强计. 目录. 1 生平. 早年生活.
高斯定理（Gauss' law）也称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式。 在 静电学 中，高斯定理表明在闭合曲面内的 电荷 之和与产生的 电场 在该闭合曲面上的 电通量 积分之间的关系。 高斯定理（Gauss' law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。 高斯定理在 静电场 情况下类比于应用在磁场学的 安培定律 ，而二者都被集中在 麦克斯韦方程组 中。 因为数学上的 相似性 ，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如 引力 或者 辐照度 。 中文名. 高斯定理. 外文名. Gauss' law. 所属学科. 物理. 分 类. 物理. 提 出. 高斯. 适用于.
ZEISS PLANAR的Double Gauβ进化优异点. 1896年，Paul Rudolph注意到双高斯结构可以帮助他设计出更好的镜头，因为双高斯是对称式的的结构，可以使设计者能减少很多的像差的控制自由度。 但是原本的双高斯4片薄形半月镜结构，正与负镜片之间的间隔很大，斜行光线入射的像差（如coma，及astigmatizm像差）会很明显，即使将光圈缩到f/8都很严重。 这个问题在Paul Rudolph手中解决了！ 他把原本薄的新月型负镜（thin meniscus）加厚，这使得正与负之间的镜片距离减小，进而降低了斜射光线所造成的像差。 但是双高斯仍有色差控制问题要解决，Rudolph当时找不到足够低色散的玻璃来抑制（1896年还没有高折射率玻璃），但是他发明了一种设计方式来代替。
x+y=-1/2. 又xy= (cosa+cos2a+cos4a+cos8a) (cos3a+cos5a+cos6a+cos7a) =1/2 (cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a) 经计算知xy=-1. 因而：x= (-1+√17)/4,y= (-1-√17)/4. 其次再设：x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a. y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a. 故有x1+x2= (-1+√17)/4. y1+y2= (-1-√17)/4.
