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第一種オイラー積分（Euler integral of the first kind）はベータ関数とも呼ばれ、 >, () > を満たす, に対して、 B ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma ...
部分積分 （ぶぶんせきぶん、 英: Integration by parts ）とは、 微分積分学 ・ 解析学 における 関数 の 積 の 積分法 に関する 定理 であり、積の積分をより計算が容易な積分に変形するために頻繁に使われる手法である。 具体的には、2つの微分可能な関数 、 、区間 に対して成り立つ以下のような関係式を指す [1] 。 不定積分 の場合であれば、同様に以下の関係式が成り立つ。 またはより簡潔に. と表記される。 ここで と は の関数 、 の 微分 、即ち. である。 導出. 上記の定理は以下のように導出される。 と がともに 微分可能関数 であるとき、 積の微分法則 （ライプニッツ則）より. 両辺を 区間 で に関して積分して. ここで 微分積分学の基本定理 より、
積分器 （せきぶんき、Integrator）とは、 積分 の計算に用いる 機器 のこと。 最も単純な積分器の例として、水の流量をある時間間隔で積分するには、水流を何らかの容器に指定された時間だけ溜め、その量を測ればよい。 逆に一定の流量を持つ水流を利用すれば、経過した時間を測定できる。 信号処理における積分器（積分回路） 詳細は「 積分回路 」を参照. 電子工学 での 積分回路 は、時系列信号の積分を行う。 一次 ローパスフィルタ をこの用途に使うことができ、連続信号（アナログ）でも近似的に離散信号（デジタル）でも使うことができる。 積分回路はローパスフィルタとしての機能もあるが、オフセットを与えることでシステムの限界まで入力された値を累算する（限界に達するとオーバーフローする）。
これは、ヘンストック＝クルツヴァイル積分を、「非絶対可積分」版ルベーグ積分と看做すことができることを意味する。. またこれから、ヘンストック＝クルツヴァイル積分が 単調収束定理 の適当な（函数が非負であることを課さない）変形版を満たす ...
数学 において、 指数積分 （しすうせきぶん、 英: exponential integral ） Ei は 指数関数 を含む 積分 によって定義される 特殊関数 の一つである。 定義. 実関数としての指数積分. 実数 x≠0 に対し指数積分 Ei (x) は次のように定義される。 ただし p.v. は コーシーの主値 を表す。 この関数は 初等関数 でないことが リッシュのアルゴリズム によって示されている。 以下、本稿ではこれを Eireal(x) で表す。 複素関数としての指数積分. 複素数 z に対し指数積分 Ei (z) は次のように定義される。 これは 多価関数 であるが、本稿では負の実軸で 分枝切断 を行い正の実軸上で実数値をとるようにする。
微分積分学 （びぶんせきぶんがく、 英: calculus ）または 微積分学 （びせきぶんがく）とは、 解析学 の基本的な部分を形成する 数学 の分野の一つである。 微分積分学は、局所的な変化を捉える 微分 と局所的な量の大域的な集積を扱う 積分法 の二本の柱からなり、分野としての範囲を確定するのは難しいが、大体多 変数 実数 値 関数 の微分と積分に関わる事柄（ 逆関数法 や ベクトル解析 も）を含んでいる。 微分 は、ある関数のある点での 接線 、或いは 接平面 を考える演算である。 数学的に別の言い方をすると、基本的には複雑な関数を 線型近似 して捉えようとする考え方である。 従って、微分は 線型写像 になる。
数学 における 線積分 （せんせきぶん、 英: line integral; 稀に path integral [注釈 1], curve integral, curvilinear integral ）は、曲線に沿って評価された 函数 の値についての 積分 の総称。 ベクトル解析 や 複素解析 において重要な役割を演じる。 閉曲線に沿う線積分を特に 閉路積分 （へいろせきぶん）あるいは 周回積分 （しゅうかいせきぶん）と呼び、専用の積分記号 ∮ が使われることもある。 周回積分法 は 複素解析 における重要な手法の一つである。 表面 z = f(x, y) に沿った曲線 C の下の領域と考えることができる. 線積分の対象となる函数は、 スカラー場 や ベクトル場 などとして与える。
