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極限 （英語： Limit ）是 函數 在 自變數 無限變大或無限變小或在某個 區間 時所接近的值 [1] ，也是 數學分析 或 微積分 的重要基礎概念， 連續 和 導數 都是通過極限來作定義。 極限分為描述一個 序列 的下標愈來越大時的趨勢（序列極限），或是描述 函數 的 自變數 接趨近某個值時的函數值的趨勢（函數極限）。 函數 極限可以推廣到網中，而 數列 的極限則與 範疇論 中的 極限和有向極限 密切相關。 概念 [ 編輯] 數列極限 [ 編輯] 主條目： 數列極限. 以數列 為例，直觀上隨著n的增大， 越來越接近0，於是可以認為0是這個序列的"極限"。 以下的嚴格定義來自於 柯西 ： 設 ，若對任意 ，存在 ，使得當 時，有. 以邏輯符號來表示即為 則稱數列 收斂於 ，記作 或 。
2019年2月17日 · 什麼是極限? Stepp學院. 36.5K subscribers. 1.3K. 85K views 4 years ago 微積分. 這部影片從古典的"切線問題"切入，談論極限 (limit)的概念及極限在微積分中所扮演的關鍵角色。 另外，本影片也嘗試解釋什麼是單邊極限 (左極限、右極限)，什麼是雙邊極限。...
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- Stepp學院
2018年6月25日 · 「靠近」是生活中常見的用詞， 數學中的「極限」的本質，是一種討論「靠近、接近、趨近」的課題。 我們常形容一個人「很靠近某人」，來形容人際關係裡，兩人十分親密；我們常用「接近目標」、「離目標只差一點了」等來鼓勵人，告訴他與最終要達成的目標的距離，已經十足的接近，不要輕易放棄；你還會在列車將要靠站時聽到： 「列車即將抵達某個地點」 ，這代表列車目前的位置與目的地已經相差不遠；又或者當人們注意到日曆上的日期「接近」假期時會特別開心，以上列舉的所有例子都隱含極限的概念。 在日常生活中， 「靠近」用來形容人與人之間、列車與目的地間的「距離很近」，數學中的「靠近」或稱「趨近」也是指「距離很近」 ，只不過在數學世界裡是形容「數」與「數」之間的距離很近，但到底「多近」才能稱「趨近」呢？
用不嚴格的說法，一個數列 存在某個極限 ，表示只要 足夠大， 就會任意接近 。 為了讓極限成為嚴格的數學概念，我們需要對上一句話中的每一個部分進行數學上的明確描述和定義，否則在應用和操作上就會產生混淆。 現代的微積分學中主要使用的是由19世紀法國數學家 奧古斯丁·路易·柯西 所引進的 定義： 定義： 設 是一個給定的 實數 數列。 是一個給定的實數。 如果對任意的正實數 ，都存在一個自然數 ，使得對任意的自然數 ，只要 ，就有 那麼就稱 是數列 的極限，記為 。 反之則稱 不是數列 的極限。 這個定義對之前的「足夠大」、「任意接近」等概念進行了精確的說明，是可以讓我們進行具體操作的。 比如讓我們回頭看一看上一節中的例子： 我們曾經通過觀察認為這個數列的極限是0。
數學中的“極限”指：某一個函數中的某一個變量，此變量在變大（或者變小）的永遠變化的過程中，逐漸向某一個確定的數值A不斷地逼近而“永遠不能夠重合到A”（“永遠不能夠等於A，但是取等於A‘已經足夠取得高精度計算結果）的過程中，此變量的變化，被人為規定為“永遠靠近而不停止”、其有一個“不斷地極為靠近A點的趨勢”。 極限是一種“變化狀態”的描述。 此變量永遠 趨近 的值A叫做“極限值”（當然也可以用其他符號表示）。 以上是屬於“極限”內涵通俗的描述，“極限”的嚴格概念最終由 柯西 和 魏爾斯特拉斯 等人嚴格闡述。 中文名. 極限. 外文名. limit. 所屬學科. 微積分. 應用領域. 微積分. 代表人物. 柯西 和 魏爾斯特拉斯. 極限數學號. lim. 領 域. 數學. 類 型. 微積分概念.
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臺灣正體. < 微积分学 | 极限. 上一節中我們給出了數列和函數的極限的定義。 以下我們將研究與極限相關的一些性質。 如上一節的評論中最後一條指出的，數列的極限可以看成是函數極限的特列，所以我們將主要討論函數極限的性質，間或給出數列極限的情況。 極限的性質 [ 編輯] 性質 1（極限的唯一性）： 函數在某點或無窮遠處的極限（數列的極限）如果存在（無論是一個確定的數值還是無窮大），那麼只有一個。 這個性質告訴我們，求某個函數或數列的極限時，只需要找到一個極限值就可以了。 這個性質也可以用於證明極限不存在。 例一. 證明函數 在 趨於正無窮大時沒有極限。 這裡的證明會運用 反證法 。 假設函數 在 趨於正無窮大時有極限，那麼由 性質 1 可知，極限只有一個。 設這個極限為 。
2018年6月29日 · 「極限」就是「靠近、趨近」的觀念，所以上文僅透過實驗將「-1.1, -1.01, -0.9, -0.99」等靠近-1的x值，代入二次函數計算，再透過計算結果推測， 當x越靠近-1時，函數值y越靠近0 ，本文就稱函數的極限為0。 這是非常不嚴謹的推論，猜測雖然奠基在可靠的事實：「函數值越來越趨近0」上，但我們沒有證明，函數可以不斷的靠近0。 就好像我們觀賞一場比賽，到最後一刻仍可能會翻盤；又好像聆聽樂曲，雖然樂曲已經快要到尾聲，八九不離十，但你仍無法確保最後樂曲的終止式為何，數學確保一切的定理皆能嚴謹的證明，因此本文將引入極限的嚴格定義。 二、日常生活中如何「壓縮」距離. 如何證明函數會趨近極限值？ 先來想想生活中的例子：若在一個房間內，有許多本書和許多筆，怎樣可以讓物品間的距離壓縮？
